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Nombre superparfait

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En arithmétique, un nombre superparfait est un entier strictement positif n tel que

,

σ est la fonction somme des diviseurs. Les nombres superparfaits sont une généralisation des nombres parfaits. Le terme a été inventé par D. Suryanarayana (1969)[1].

Les premiers nombres superparfaits sont :

2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, 1073741824, etc. suite A019279 de l'OEIS

Pour illustrer : on peut voir que 16 est un nombre superparfait car σ(16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, et σ(31) = 1 + 31 = 32, donc σ(σ(16) ) = 32 = 2 × 16.

Si n est un nombre superparfait pair, alors n doit être une puissance de 2, disons 2k, telle que le nombre de Mersenne 2 k+1 − 1 soit premier[1].

On ne sait pas s'il existe des nombres superparfaits impairs. Un nombre superparfait impair n devrait être un nombre carré tel que n ou σ(n) soit divisible par au moins trois nombres premiers distincts. Il n'y a pas de nombres superparfaits impairs en dessous de 7  × 1024[1].

Généralisations

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Les nombres parfaits et superparfaits sont des exemples de la classe plus large des nombres m-superparfaits, qui satisfont

correspondant à m = 1 et 2 respectivement. Pour m ≥ 3 il n'y a pas de nombres m-superparfaits[1].

Les nombres m-superparfaits sont à leur tour des exemples de nombres (m, k)-parfaits qui satisfont[2]

.

Avec cette notation, les nombres parfaits sont (1, 2)-parfaits, les nombres multiparfaits sont (1, k)-parfaits, les nombres superparfaits sont (2, 2)-parfaits et les nombres m -superparfaits sont (m, 2)-parfaits[3].

Bibliographie

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Références

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  1. a b c et d Guy, 2004, p. 99.
  2. Cohen & te Riele, 1996.
  3. Guy, 2007, p. 79.